DFS/BFS와 최단경로 알고리즘(다익스트라, 플로이드워셜) 모두 그래프 알고리즘의 한 유형으로 볼 수 있다. 이번에는 이것들 외의 그래프 알고리즘인 서로소 집합 알고리즘, 크루스칼 알고리즘, 위상정렬 알고리즘을 살펴본다.

크루스칼은 그리디 알고리즘으로 분류되고, 위상정렬은 큐나 스택을 활용해서 구현한다.

1. 서로소 집합 알고리즘

서로소 집합은 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 집합 {1,2}와 {3,4}는 서로소이고, {1,2}와 {2,3}은 서로소가 아니다. 서로소 집합 자료구조는 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.

서로소 집합 자료구조는 union과 find 2개의 연산으로 조작할 수 있다. union은 2개의 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이고, find 연산은 특정 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

2. 서로소 집합 계산

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용해 집합을 표현한다. Union연산은 그래프에서 간선으로 표현될 수 있기 때문이다.

① 합집합(union)연산을 확인해 서로 연결된 노드 A, B를 확인한다.

② A, B의 루트 노드 A’, B’를 찾아 A’를 B’의 부모 노드로 설정한다. (B’가 A’를 가리키도록 한다) 보통 A’ < B’이다.

③ 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 반복한다.

만약 전체 집합 {1,2,3,4,5,6}에서 {1,4}, {2,3}, {2,4}, {5,6}의 네가지 union이 있다고 할 때 아래와 같이 표현된다. 일반적으로 서로소 집합을 그림으로 표현할 때는 번호가 큰 노드가 번호가 작은 노드를 간선으로 가리키도록 트리 구조를 표현한다.

이 그림을 통해 집합{1,2,3,4}와 집합 {5,6}으로 나누어진다는 것을 볼 수 있다. 이제 union 연산을 하나씩 확인하면서 더 큰 루트 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 구현해보자.

먼저 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다. 이때 모든 원소가 자기 자신을 부모로 가지도록 설정한다. 그러면 총 6개의 트리가 존재한다고 할 수 있다. 여기서 부모 테이블은 부모 노드에 대한 정보만 담고 있기 때문에 실제로 루트를 확인할 때는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가서 최종적인 루트 노드를 찾아야 한다.

첫번째 union 연산인 {1,4}가 들어오면 1번 노드의 부모 노드와 4번 노드의 부모 노드중 더 큰 4가 1을 가리키도록 테이블을 수정한다.

두 번째 union 연산인 {2,3}가 들어오면 2번 노드의 부모 노드와 3번 노드의 부모 노드중 더 큰 3이 2를 가리키도록 테이블을 수정한다.

다음 union 연산인 {2,4}가 들어오면 2번 노드의 부모 노드(2)와 4번 노드의 부모 노드(1)중 더 큰 2가 1을 가리키도록 테이블을 수정한다.

마지막 union 연산인 {5,6}가 들어오면 5번 노드의 부모 노드(5)와 6번 노드의 부모 노드(6)중 더 큰 6이 5를 가리키도록 테이블을 수정한다.

3. 서로소 집합 알고리즘 with Python

이렇게 union 연산을 하기 위해 부모 테이블을 항상 사용해야 하고, 루트 노드를 바로 계산할 수 없어 부모 테이블을 계속 거슬러 올라가 확인해야 한다. 이를 해결하기 위해 find 함수에서 해당 노드의 루트 노드가 부모 노드가 되도록 경로 압축 기법을 사용한다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기 (루트 찾기) 
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:  # x의 루트가 x가 아니면 루트를 찾을 때까지 재귀적 호줄
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]  # 경로 압축 방법

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# union 연산 입력 받기 
v, e = map(int, input().split())  # 노드의 개수 v, 간선의 개수 e
parent = [0] * (v+1)  # 부모 테이블 초기화 
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i  # 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
    
# union 연산 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent,a,b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력 
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 출력
print('부모 테이블: ', end ='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end=' ')
    
'''
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5 
부모 테이블: 1 1 1 1 5 5 
'''

4. 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도: $O(V+M(1+log_{2-M/V}V))$

경로 압축 방법을 사용한 서로소 집합 알고리즘은 노드의 개수가 V개, 최대 V-1 개의 union 연산, M개의 find연산이 가능할 때 $ O(V+M(1+log_{2-M/V}V))$으 시간 복잡도를 가진다.

5. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. (방향 그래프의 사이클 여부는 DFS 사용)

① 합집합(union)연산을 확인해 서로 연결된 노드 A, B를 확인한다.

② A, B의 루트 노드 A’, B’를 찾아 A’를 B’의 부모 노드로 설정한다. (B’가 A’를 가리키도록 한다) 보통 A’ < B’이다.

③ 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 반복한다.

Union 연산은 그래프의 간선으로 표현될 수 있다고 했다. 따라서 간선을 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정으로 사이클을 판별할 수 있다. 다음 예시를 보자.

처음에는 마찬가지로 모든 노드의 부로를 자기자신으로 부모 테이블을 초기화한다.

다음으로 간선 (1,2)를 확인하고, 노드 1의 루드 노트(1)과 노드 2의 루트 노드(2) 중 더 큰 2의 부모 노드를 1로 변경한다.

다음으로 간선 (1,3)를 확인하고, 노드 1의 루드 노트(1)과 노드 3의 루트 노드(3) 중 더 큰 3의 부모 노드를 1로 변경한다.

다음으로 간선 (2,3)을 확인하는데, 이때 노드 2의 루드 노트(1)과 노드 3의 루트 노드(1)은 같으므로 사이클이 발생한다는 것을 알수있다.

사이클을 판별하는 코드는 다음과 같다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기 (루트 찾기) 
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:  # x의 루트가 x가 아니면 루트를 찾을 때까지 재귀적 호줄
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# union 연산 입력 받기 
v, e = map(int, input().split())  # 노드의 개수 v, 간선의 개수 e
parent = [0] * (v+1)  # 부모 테이블 초기화 
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i  # 부모 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화

cycle = False  # 사이클 발생 여부 확인 

# union 연산 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    if find_parent(parent,a) == find_parent(parent,b):  # 사이클 발생한 경우 종료
        cycle = True
        break
    else:  # 사이클 발생하지 않으면 합집합 수행 
        union_parent(parent,a,b)

if cycle:
    print('사이클 발생')
else:
    print('사이클 발생 안함')
    
'''
3 3
1 2
1 3
2 3
사이클 발생
'''